Question

【題目】如圖，在△ABC中，BA＝BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，BC的延長線于⊙O的切線AF交于點F．

（1）求證：∠ABC＝2∠CAF；

（2）若AC＝2，CE：EB＝1：4，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CE＝2．

【解析】

（1）首先連接BD，由AB為直徑，可得∠ADB=90°，又由AF是⊙O的切線，易證得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，證得：∠ABC=2∠CAF；
（2）首先連接AE，設CE=x，由勾股定理可得方程：（2）2=x2+（3x）2求得答案．

（1）證明：如圖，連接BD．

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴∠DAB+∠ABD＝90°．

∵AF是⊙O的切線，

∴∠FAB＝90°，

即∠DAB+∠CAF＝90°．

∴∠CAF＝∠ABD．

∵BA＝BC，∠ADB＝90°，

∴∠ABC＝2∠ABD．

∴∠ABC＝2∠CAF．

（2）解：如圖，連接AE，

∴∠AEB＝90°，

設CE＝x，

∵CE：EB＝1：4，

∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x，

在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，

即（2）2＝x2+（3x）2，

∴x＝2．

∴CE＝2．