Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD中，順次連結各邊中點E、F、G、H得到的四邊形EFGH叫做四邊形ABCD的中點四邊形．

（1）四邊形EFGH的形狀是______，證明你的結論；

（2）請你探究不同四邊形的中點四邊形的形狀：

①當四邊形ABCD變為平行四邊形時，它的中點四邊形是______；

②當四邊形ABCD變為矩形時，它的中點四邊形是______；

③當四邊形ABCD變為菱形時，它的中點四邊形是______；

④當四邊形ABCD變為正方形時，它的中點四邊形是______；

（3）根據以上觀察探究，請你總結中點四邊形的形狀是由原四邊形的什么性質決定的？

Answer 1

【答案】（1）四邊形EFGH是平行四邊形．見解析；（2）①平行四邊形；②菱形；③矩形；④正方形．

【解析】

(1)連接BD，利用三角形中位線定理推出所得四邊形對邊平行且相等，故為平行四邊形；

(2)應用三角形中位線定理“三角形的中位線等于第三邊的一半”，根據平行四邊形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可；

(3)由以上法則可知，中點四邊形的形狀是由原四邊形的對角線的大小關系和位置關系決定的．

(1)四邊形EFGH是平行四邊形，證明如下：

如圖1，連接BD，

∵E、H分別是AB、AD的中點，

∴EH是△ABD的中位線，

∴EH=BD，EH∥BD．

同理得FG=BD，FG∥BD．

∴EH=FG，EH∥FG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形，

故答案為：平行四邊形；

(2)①同理得：當四邊形ABCD變為平行四邊形時，它的中點四邊形是：平行四邊形；

②如圖2，連接AC、BD，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD，

∵EF=AC，EH=BD，

∴EF=EH，

∴四邊形EFGH是菱形；

③∵四邊形EFGH是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠FEH=90°，

∴四邊形ABCD是矩形；

④∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC=BD，AC⊥BD，

∴四邊形EFGH是正方形．

(3)由以上法則可知，中點四邊形的形狀是由原四邊形的對角線的大小關系和位置關系決定的．