Question

【題目】如圖,P為正方形ABCD的邊BC上一動點(P與B.C不重合)，點Q在CD邊上，且BP=CQ，連接AP、BQ交于點E，將△BQC沿BQ所在直線對折得到△BQN，延長QN交BA的延長線于點M.

(1)求證：AP⊥BQ；

(2)若AB=3，BP=2PC，求QM的長；

(3)當BP=m，PC=n時，求AM的長。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）MQ=；（3）AM=．

【解析】

試題（1）證明△ABP≌△BCQ，則∠BAP=∠CBQ，從而證明∠CBQ+∠APB=90°，進而得證；

（2）設MQ=MB=x，則MN=x﹣2．在直角△MBN中，利用勾股定理即可列方程求解；

（3）設AM=y，BN=BC=m+n，在直角△BNM中，MB=y+m+n，MN=MQ﹣QN=（y+m+n）﹣m=y+n，利用勾股定理即可求解．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC，在△ABP和△BCQ中，∵AB=BC，∠ABC=∠C，BP=CQ，∴△ABP≌△BCQ，∴∠BAP=∠CBQ．

∵∠BAP+∠APB=90°，∴∠CBQ+∠APB=90°，∴∠BEP=90°，∴AP⊥BQ；

（2）解：∵正方形ABCD中，AB=3，BP=2CP，∴BP=2，由（1）可得NQ=CQ=BP=2，NB=3．

又∵∠NQB=∠CQB=∠ABQ，∴MQ=MB．

設MQ=MB=x，則MN=x﹣2．

在直角△MBN中，，即，解得：x=，即MQ=；

（3）∵BP=m，CP=n，由（1）（2）得MQ=BM，CQ=QN=BP=m，設AM=y，BN=BC=m+n，在直角△BNM中，MB=y+m+n，MN=MQ﹣QN=（y+m+n）﹣m=y+n，，即，則y=，AM=．