Question

【題目】如圖,平面直角坐標系中,直線AB:y=x+b交y軸于點A(0,4)，交x軸于點B.

(1)求點B的坐標；

(2)直線l垂直平分OB交AB于點D，交x軸于點E，點P是直線l上一動點，且在點D的上方，設點P的縱坐標為n.

①用含n的代數式表示△ABP的面積；

②當S△ABP=8時，求點P的坐標；

(3)在(2)中②的條件下，以PB為斜邊作等腰直角△PBC，求點C的坐標。

Answer 1

【答案】（1）(4,0)；（2）①S△ABP =2n4.；②(2,6)；（3）(6,4)或(0,2)

【解析】

（1）把點A的坐標代入直線解析式可求得b=4，則直線的解析式為y=-x+4，令y=0可求得x=4，故此可求得點B的坐標；

（2）①由題l垂直平分OB可知OE=BE=2，將x=2代入直線AB的解析式可求得點D的坐標，設點P的坐標為（2，n），然后依據S△APB=S△APD+S△BPD可得到△APB的面積與n的函數關系式為S△APB=2n-4；

②由S△ABP=8得到關于n的方程可求得n的值，從而得到點P的坐標；

③如圖1所示，過點C作CM⊥l，垂足為M，再過點B作BN⊥CM于點N．設點C的坐標為（p，q），先證明△PCM≌△CBN，得到CM=BN，PM=CN，然后由CM=BN，PM=CN列出關于p、q的方程組可求得p、q的值；如圖2所示，同理可求得點C的坐標．

(1)∵把A(0,4)代入y=x+b得b=4

∴直線AB的函數表達式為：y=x+4.

令y=0得：x+4=0，解得：x=4

∴點B的坐標為(4,0).

(2)①∵l垂直平分OB，

∴OE=BE=2.

∵將x=2代入y=x+4得：y=2+4=2.

∴點D的坐標為(2,2).

∵點P的坐標為(2,n)，

∴PD=n2.

∵S△APB=S△APD+S△BPD，

∴S△ABP= PDOE+PDBE= (n2)×2+ (n2)×2=2n4.

②∵S△ABP=8，

∴2n4=8，解得：n=6.

∴點P的坐標為(2,6).

（3）如圖1所示：過點C作CM⊥l，垂足為M，再過點B作BN⊥CM于點N.

設點C(p,q).

∵△PBC為等腰直角三角形，PB為斜邊，

∴PC=CB,∠PCM+∠MCB=90°.

∵CM⊥l，BN⊥CM，

∴∠PMC=∠BNC=90°,∠MPC+∠PCM=90°.

∴∠MPC=∠NCB.

在△PCM和△CBN中，

，

∴△PCM≌△CBN.

∴CM=BN，PM=CN.

∴ ,解得 .

∴點C的坐標為(6,4).

如圖2所示：過點C作CM⊥l，垂足為M，再過點B作BN⊥CM于點N.

設點C(p,q).

∵△PBC為等腰直角三角形，PB為斜邊，

∴PC=CB,∠PCM+∠MCB=90°.

∵CM⊥l，BN⊥CM，

∴∠PMC=∠BNC=90°,/span>∠MPC+∠PCM=90°.

∴∠MPC=∠NCB.

在△PCM和△CBN中，

，

∴△PCM≌△CBN.

∴CM=BN，PM=CN.

∴ ,解得 .

∴點C的坐標為(0,2).

綜上所述點C的坐標為(6,4)或(0,2).