Question

【題目】如圖，點 O 是等邊△ABC 內一點，∠AOB＝105°，∠BOC 等于α，將△BOC 繞點 C 按 順時針方向旋轉 60°得△ADC，連接 OD.

（1）求證：△COD 是等邊三角形．

（2）求∠OAD 的度數．

（3）探究：當α為多少度時，△AOD 是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）45°；（3）105°，127.5°或 150°.

【解析】（1）由旋轉的性質得到△BCO≌△ACD， 再由全等三角形對應邊相等得到OC＝CD，根據有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形即可得出結論；

（2）由等邊三角形的性質、三角形內角和定理以及旋轉的性質即可得出結論．

（3）若△AOD 是等腰三角形 ，分三種情況討論即可．

（1）∵△BOC 旋轉 60°得到△ADC，∴△BCO≌△ACD，

∴OC＝CD，且∠OCD＝60°，則△OCD 是等邊三角形；

（2）∵△ABC 為等邊三角形，∴∠BAO＋∠OAC＝60°，∠ABO＋∠OBC＝60°．

∵∠AOB＝105°，∴∠BAO＋∠ABO＝75°，∴∠OAC＋∠OBC＝120°﹣105°＝45°．

∵△BOC 旋轉 60°得到△ADC，∴△BCO≌△ACD，

∴∠DAC＝∠OBC ，∴∠OAD＝∠OAC＋∠CAD＝45°．

（3）若△AOD 是等腰三角形 ．∵由（1）知△OCD 是等邊三角形，∴∠COD＝60°．

由（2）知∠OAD＝45°， 分三種情況討論：

①當 OA＝OD 時，∠AOD＝90°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣90°＝105°；

②當 OA＝AD 時，∠AOD＝67.5°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣67.5°＝127.5°；

③當 AD＝OD 時，∠AOD＝45°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣45°＝150°．

綜上所述：當α＝105°，127.5°或 150°時，△AOD 是等腰三角形 ．