Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點A、C的坐標分別為（﹣1,0），（0，﹣3），直線x=1為拋物線的對稱軸，點D為拋物線的頂點，直線BC與對稱軸相交于點E．

（1）求拋物線的解析式并直接寫出點D的坐標；

（2）點P為直線x=1右方拋物線上的一點（點P不與點B重合），記A、B、C、P四點所構(gòu)成的四邊形面積為，若，求點P的坐標；

（3）點Q是線段BD上的動點，將△DEQ沿邊EQ翻折得到△，是否存在點Q使得△與△BEQ的重疊部分圖形為直角三角形，若存在，請求出BQ的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由拋物線的對稱軸直線x=1，A（﹣1,0）可知B（3，0），

設(shè)拋物線y=a（x+1）（x﹣3），將C（0，﹣3）代入得：﹣3=﹣3a，即a=1，

∴拋物線的解析式為：y=x²﹣2x﹣3，其頂點D坐標為：（1，﹣4）．

（2）設(shè)，易知直線的解析式為：，令，則，所以，

（ⅰ）當在軸的下方時，即，連結(jié)，

因為，則，

化簡得，，解之得，（舍）

所以的坐標為

（ⅱ）當在軸的上方時，即，

因為，則，

化簡得，，解之得，（舍）

所以的坐標為

綜上所述，的坐標為或；

（3）存在．（ⅰ）如圖1所示，交于點，∵，

∴  ，即

∴ ；

（ⅱ）如圖2所示，交于點，∵，

∴  ，即，同理

∴  在中，設(shè)，由勾股定理得：，解之得，

∴；

（ⅲ）如圖3所示，過點作交于點，由（ⅰ）（ⅱ）可知，

∵，

∴  ，即，

綜上所述，存在點Q使得△D^’EQ與△BEQ的重疊部分圖形為直角三角形，的長度為或或．