Question

【題目】定義：圓中有公共端點的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC組成圓的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中點，MF⊥AB于F，則AF＝FB+BC．

如圖2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圓于E，連接EA，則∠EAC＝_____°．

Answer 1

【答案】60°．

【解析】

連接OA、OC、OE，由已知條件，根據阿基米德折弦定理，可得到點E為弧ABC的中點，即,進而推得∠AOE＝∠COE，已知∠ABC＝60°，則∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，可知∠AOE＝∠COE＝120°，故∠CAE＝∠COE＝60°.

解：如圖2，連接OA、OC、OE，

∵AB＝8，BC＝6，BD＝1，

∴AD＝7，BD+BC＝7，

∴AD＝BD+BC，

而ED⊥AB，

∴點E為弧ABC的中點，即，

∴∠AOE＝∠COE，

∵∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，

∴∠AOE＝∠COE＝120°，

∴∠CAE＝∠COE＝60°．

故答案為60°．