Question

【題目】如圖1和圖2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，.

探究：如圖1，AH⊥BC于點(diǎn)H，則AH＝___，AC＝___，△ABC的面積＝___.

拓展：如圖2，點(diǎn)D在AC上（可與點(diǎn)A、C重合），分別過點(diǎn)A、C作直線BD的垂線，垂足為E、F，設(shè)BD＝x，AE＝m，CF＝n，（當(dāng)點(diǎn)D與A重合時(shí)，我們認(rèn)為＝0）.

（1）用含x、m或n的代數(shù)式表示及；

（2）求(m+n)與x的函數(shù)關(guān)系式，并求(m+n)的最大值和最小值；

（3）對給定的一個(gè)x值，有時(shí)只能確定唯一的點(diǎn)D，指出這樣的x的取值范圍.

發(fā)現(xiàn)：請你確定一條直線，使得A、B、C三點(diǎn)到這條直線的距離之和最小（不必寫出過程），并寫出這個(gè)最小值.

Answer 1

【答案】探究：12，15，84；拓展：（1），；（2）；x=時(shí)，（）的最大值為15；當(dāng)時(shí)，（）的最小值為12；（3）或；發(fā)現(xiàn)：.

【解析】

探究：由，AB=13，可得BH的長，即可求出CH的長，利用勾股定理求出AH、AC的長即可；拓展：（1）由三角形的面積公式即可求解；（2）首先由（1）可得，，再根據(jù)S△ABD+S△CBD=S△ABC=84，即可求出（m+n）與x的函數(shù)關(guān)系式，然后由點(diǎn)D在AC上（可與點(diǎn)A，C重合），可知x的最小值為AC邊上的高，最大值為BC的長；根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得答案；（3）由于BC＞BA，所以當(dāng)以B為圓心，以大于且小于13為半徑畫圓時(shí)，與AC有兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，故根據(jù)點(diǎn)D的唯一性，分兩種情況：①當(dāng)BD為△ABC的邊AC上的高時(shí)，D點(diǎn)符合題意；②當(dāng)AB＜BD≤BC時(shí)，D點(diǎn)符合題意；發(fā)現(xiàn)：由于AC＞BC＞AB，所以使得A、B、C三點(diǎn)到這條直線的距離之和最小的直線就是AC所在的直線．

探究：∵，AB=13，

∴BH＝5，

∴，

∴HC＝9，，

∴S△ABC=×12×14=84，

故答案為12，15，84；

拓展：解：（1）由三角形面積公式得出：，；

（2）∵，，

∴，

∵AC邊上的高為：，

∴x的取值范圍為：，

∵（）隨的增大而減小，

∴時(shí)，（）的最大值為：15；

當(dāng)時(shí)，（）的最小值為12；

（3）∵BC＞BA，只能確定唯一的點(diǎn)D，

∴當(dāng)以B為圓心，以大于且小于13為半徑畫圓時(shí)，與AC有兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，

①當(dāng)BD為△ABC的邊AC上的高時(shí)，即x=時(shí)，BD與AC有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意，

②當(dāng)AB＜BD≤BC時(shí)，即時(shí)，BD與AC有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意，

∴x的取值范圍是或，

發(fā)現(xiàn)：

∵AC＞BC＞AB，

∴AC、BC、AB三邊上的高中，AC邊上的高最短，

∴過A、B、C三點(diǎn)到這條直線的距離之和最小的直線就是AC所在的直線，最小值為AC邊上的高的長.