Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，橫坐標為a的點A在反比例函數y1＝(x＞0)的圖象上，點B與點A關于原點O對稱，一次函數y2＝mx+n的圖象經過點B.

(1)設a＝2，點C(4，2)在函數y1，y2的圖象上.分別求函數y1，y2的表達式.

(2)如圖，設函數y1，y2的圖象相交于點C，點C的橫坐標為3a，△ABC的面積為16，求k的值.

Answer 1

【答案】(1)y1＝，y2＝x﹣2；(2)k＝6.

【解析】

(1)將點C(4，2)代入y1＝，求出k的值，得到函數y1的表達式；把x＝a＝2代入y1＝，求出點A坐標，根據A和點A'關于原點對稱，得到點A'的坐標，將點A'和點B的坐標代入y2＝mx+n，利用待定系數法求出函數y2的表達式；

(2)由反比例函數圖象上點的坐標特征可得點A坐標，根據A和點B關于原點對稱，得到點B(﹣a，﹣).又點B在y2＝mx+n的圖象上，那么點B(﹣a，﹣am+n).解方程即可得到結論.

解：(1)∵點C(4，2)在函數y1＝(x＞0)的圖象上，

∴k＝4×2＝8，

∴函數y1的表達式為y1＝.

∵點A在y1＝的圖象上，

∴x＝a＝2，y＝4，

∴點A(2，4).

∵A和點B關于原點對稱，

∴點B的坐標為(﹣2，﹣4).

∵一次函數y2＝mx+n的圖象經過點A'和點B，

∴，

解之，得：，

∴函數y2的表達式為y2＝x﹣2；

(2)∵點A的橫坐標為a，

∴點A(a，).

∵A和點B關于原點對稱，

∴點B的坐標為(﹣a，﹣).

∵點B在y2＝mx+n的圖象上，

∴點B的坐標為(﹣a，﹣am+n).

∴﹣＝﹣am+n，

a2m＝an+k①.

∵點C的橫坐標為3a，

∴點C(3a，3am+n)或(3a，)，

∴3am+n＝，即9a2m+3an＝k②

由①②得：a2m＝，an＝﹣.

過點A作AD⊥x軸，交BC于點D，則點D(a，am+n)，

∴AD＝﹣am﹣n.

∵S△ABc＝AD(xc﹣xb)＝4a(﹣am﹣n)＝16，

∴k﹣a2m﹣an＝8，

∴k﹣﹣(﹣)＝8，

∴k＝6.