Question

已知菱形ABCD的邊長為6，∠A=60°，如果點P是菱形內一點，且PB=PD=2

3

，那么AP的長為

 

．

Answer 1

分析：根據題意得，應分P與A在BD的同側與異側兩種情況進行討論．

解答：解：當P與A在BD的異側時：連接AP交BD于M，
∵AD=AB，DP=BP，
∴AP⊥BD（到線段兩端距離相等的點在垂直平分線上），
在直角△ABM中，∠BAM=30°，
∴AM=AB•cos30°=3

3

，BM=AB•sin30°=3，
∴PM=

PB2-BM2

=

3

，
∴AP=AM+PM=4

3

；
當P與A在BD的同側時：連接AP并延長AP交BD于點M
AP=AM-PM=2

3

；
當P與M重合時，PD=PB=3，與PB=PD=2

3

矛盾，舍去．
AP的長為4

3

或2

3

．
故答案為4

3

或2

3

．

點評：本題注意到應分兩種情況討論，并且注意兩種情況都存在關系AP⊥BD，這是解決本題的關鍵．