Question

閱讀材料：“最值問題”是數學中的一類較具挑戰性的問題．其實，數學史上也有不少相關的故事，如下即為其中較為經典的一則：海倫是古希臘精通數學、物理的學者，相傳有位將軍曾向他請教一個問題--如圖1，從A點出發，到筆直的河岸l去飲馬，然后再去B地，走什么樣的路線最短呢？海倫輕松地給出了答案：作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交l于點P，則PA+PB=A′B 的值最小．
解答問題：
（1）如圖2，⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；
（2）如圖3，已知菱形ABCD的邊長為6，∠DAB=60°．將此菱形放置于平面直角坐標系中，各頂點恰好在坐標軸上．現有一動點P從點A出發，以每秒2個單位的速度，沿A→C的方向，向點C運動．當到達點C后，立即以相同的速度返回，返回途中，當運動到x軸上某一點M時，立即以每秒1個單位的速度，沿M→B的方向，向點B運動．當到達點B時，整個運動停止．
①為使點P能在最短的時間內到達點B處，則點M的位置應如何確定？
②在①的條件下，設點P的運動時間為t（s），△PAB的面積為S，在整個運動過程中，試求S與t之間的函數關系式，并指出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）延長AO交圓于M，連接CM交OB于P，連接AC，求出∠ACM、∠M，求出AC、根據勾股定理求出PM即可；
（2）①根據運動速度不同以及運動距離，得出當PB⊥AB時，點P能在最短的時間內到達點B處；
②根據三角形的面積公式求出從A到C時，s與t的關系式和從C到（

3

，0）以及到B的解析式．

解答：解：（1）延長AO交圓O于M，連接CM交OB于P，連接AC，
則此時AP+PC=PC+PM=CM最小，
∵AM是直徑，∠AOC=60°，
∴∠ACM=90°，∠AMC=30°，
∴AC=

1

2

AM=2，AM=4，由勾股定理得：CM=

AM2-AC2

=2

3

．
答：PA+PC的最小值是2

3

．

（2）①根據動點P從點A出發，以每秒2個單位的速度，沿A→C的方向，向點C運動．當到達點C后，立即以相同的速度返回，返回途中，當運動到x軸上某一點M時，立即以每秒1個單位的速度，沿M→B的方向，向點B運動，
即為使點P能在最短的時間內到達點B處，
∴當PB⊥AB時，符合題意，
∵菱形ABCD，AB=6，∠DAB=60°，
∴∠BAO=30°，AB=AD，AC⊥BD，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD=6，BO=3，由勾股定理得：AO=3

3

，
在Rt△APB中，AB=6，∠BAP=30°，BP=

1

2

AP，由勾股定理得：AP=4

3

，BP=2

3

，
∴點M的位置是（

3

，0）時，用時最少．
②當0＜t≤3

3

時，AP=2t，
∵菱形ABCD，
∴∠OAB=30°，
∴OB=

1

2

AB=3，
由勾股定理得：AO=CO=3

3

，
∴S=

1

2

AP×BO=

1

2

×2t×3=3t；
③當3

3

＜t≤4

3

時，AP=6

3

-（2t-6

3

）=12

3

-2t，
∴S=

1

2

AP×BO=

1

2

×（12

3

-2t）×3=18

3

-3t．
當4

3

＜t≤6

3

時，
S=

1

2

AB×BP=

1

2

×6×[2

3

-（t-4

3

）]=-3t+18

3

，
答：S與t之間的函數關系式是當3

3

＜t≤4

3

時，S=18

3

-3t；當0＜t≤3

3

時，S=3t．
當4

3

＜t≤6

3

時，S=-3t+18

3

．

點評：本題主要考查對含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的面積，軸對稱-最短問題，圓周角定理等知識點的理解和掌握，能綜合運用性質進行計算是解此題的關鍵．