Question

【題目】矩形ABCD中，點C（3，8），E、F為AB、CD邊上的中點，如圖1，點A在原點處，點B在y軸正半軸上，點C在第一象限，若點A從原點出發，沿x軸向右以每秒1個單位長度的速度運動，點B隨之沿y軸下滑，并帶動矩形ABCD在平面內滑動，如圖2，設運動時間表示為t秒，當點B到達原點時停止運動．

（1）當t=0時，點F的坐標為 ；

（2）當t=4時，求OE的長及點B下滑的距離；

（3）求運動過程中，點F到點O的最大距離；

（4）當以點F為圓心，FA為半徑的圓與坐標軸相切時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）F（3，4）；（2）8-；（3）7；（4）t的值為或.

【解析】試題分析：（1）先確定出DF，進而得出點F的坐標；

（2）利用直角三角形的性質得出∠ABO=30°，即可得出結論；

（3）當O、E、F三點共線時，點F到點O的距離最大，即可得出結論；

（4）分兩種情況，利用相似三角形的性質建立方程求解即可．

試題解析：解：（1）當t=0時．∵AB=CD=8，F為CD中點，∴DF=4，∴F（3，4）；

（2）當t=4時，OA=4．在Rt△ABO中，AB=8，∠AOB=90°，

∴∠ABO=30°，點E是AB的中點，OE=AB=4，BO=，∴點B下滑的距離為．

（3）當O、E、F三點共線時，點F到點O的距離最大，∴FO=OE+EF=7．

（4）在Rt△ADF中，FD2+AD2=AF2，∴AF==5，①設AO=t1時，⊙F與x軸相切，點A為切點，∴FA⊥OA，∴∠OAB+∠FAB=90°．∵∠FAD+∠FAB=90°，∴∠BAO=∠FAD．∵∠BOA=∠D=90°，∴Rt△FAE∽Rt△ABO，∴，∴，∴t1=，②設AO=t2時，⊙F與y軸相切，B為切點，同理可得，t2=．

綜上所述：當以點F為圓心，FA為半徑的圓與坐標軸相切時，t的值為或．