Question

【題目】如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，直徑AB＝4，直線EF經過點C，AD⊥EF于點D，∠ACD＝∠B．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）若AD＝1，求BC的長；

（3）在（2）的條件下，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）連接OC，由OB＝OC，利用等邊對等角得到∠BCO＝∠B，由∠ACD＝∠B，得到∠ACD+∠OCA＝90°，即可得到EF為圓O的切線；

（2）證明Rt△ABC∽Rt△ACD，可求出AC＝2，由勾股定理求出BC的長即可；

（3）求出∠B＝30°，可得∠AOC＝60°，在Rt△ACD中，求出CD，然后用梯形ADCO和扇形OAC的面積相減即可得出答案．

（1）證明：連接OC，

∵AB是⊙O直徑，

∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠OCA＝90°，

∵OB＝OC，

∴∠BCO＝∠B，

∵∠ACD＝∠B，

∴∠ACD+∠OCA＝90°，

∵OC是⊙O的半徑，

∴EF是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△ABC和Rt△ACD中，

∵∠ACD＝∠B，∠ACB＝∠ADC，

∴Rt△ABC∽Rt△ACD，

∴，

∴AC2＝ADAB＝1×4＝4，

∴AC＝2，

∴；

（3）解：∵在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝4，

∴∠B＝30°，

∴∠AOC＝60°，

在Rt△ADC中，∠ACD＝∠B＝30°，AD＝1，

∴CD＝＝＝，

∴S陰影＝S梯形ADCO﹣S扇形OAC＝．