Question

【題目】已知直線y=kx+b與拋物線y=ax2（a＞0）相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸正半軸相交于點C，過點A作AD⊥x軸，垂足為D．

（1）若∠AOB=60°，AB∥x軸，AB=2，求a的值；
（2）若∠AOB=90°，點A的橫坐標為﹣4，AC=4BC，求點B的坐標；
（3）延長AD、BO相交于點E，求證：DE=CO．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

∵拋物線y=ax2的對稱軸是y軸，且AB∥x軸，

∴A與B是對稱點，O是拋物線的頂點，

∴OA=OB，

∵∠AOB=60°，

∴△AOB是等邊三角形，

∵AB=2，AB⊥OC，

∴AC=BC=1，∠BOC=30°，

∴OC= ，

∴A（﹣1， ），

把A（﹣1， ）代入拋物線y=ax2（a＞0）中得：a= ；

（2）解：如圖2，過B作BE⊥x軸于E，過A作AG⊥BE，交BE延長線于點G，交y軸于F，

∵CF∥BG，

∴ ，

∵AC=4BC，

∴ =4，

∴AF=4FG，

∵A的橫坐標為﹣4，

∴B的橫坐標為1，

∴A（﹣4，16a），B（1，a），

∵∠AOB=90°，

∴∠AOD+∠BOE=90°，

∵∠AOD+∠DAO=90°，

∴∠BOE=∠DAO，

∵∠ADO=∠OEB=90°，

∴△ADO∽△OEB，

∴ ，

∴ ，

∴16a2=4，

a=± ，

∵a＞0，

∴a= ；

∴B（1， ）；

（3）解：如圖3，

設AC=nBC，由（2）同理可知：A的橫坐標是B的橫坐標的n倍，

則設B（m，am2），則A（﹣mn，am2n2），

∴AD=am2n2，

過B作BF⊥x軸于F，

∴DE∥BF，

∴△BOF∽△EOD，

∴ = = ，

∴ ，

∴ = ，DE=am2n，

∴ = ，

∵OC∥AE，

∴△BCO∽△BAE，

∴ ，

∴ = ，

∴CO= =am2n，

∴DE=CO．

【解析】（1）過等邊三角形的內心分別作三邊的平行線，求a的值；
（2）如圖2，作輔助線，構建平行線和相似三角形，根據CF∥BG，由A的橫坐標為-4，得B的橫坐標為1，所以A（-4，16a），B（1，a），證明△ADO∽△OEB，即可得到所求結論；
（3）如圖3，設AC=nBC由（2）同理可知：A的橫坐標是B的橫坐標的n倍，分別根據兩三角形相似計算DE和CO的長即可得出DE=CO．