Question

【題目】已知：關于x的二次函數y=x2+bx+c經過點（﹣1，0）和（2，6）．
（1）求b和c的值．
（2）若點A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）都在這個二次函數的圖象上，問是否存在整數n，使 + + = ？若存在，請求出n；若不存在，請說明理由．
（3）若點P是二次函數圖象在y軸左側部分上的一個動點，將直線y=﹣2x沿y軸向下平移，分別交x軸、y軸于C、D兩點，若以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，請求出所有符合條件點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：把（﹣1，0）和（2，6）代入y=x2+bx+c中，

得 解得 ，

∴b=1，c=0．

（2）解：由題意y1=n2+n，y2=（n+1）2+（n+1），y3=（n+2）2+（n+2），

∵ + + = ，

∴ + + = ，

∴ ﹣ + ﹣ + ﹣ = ，

∴ ﹣ = ，

整理得n2+3n﹣10=0，

解得n=2或﹣5．

經過檢驗n=2和﹣5是分式方程的解．

（3）解：當D為直角頂點時，由圖象可知不存在點P，使得△PCD為直角三角形，當C為直角頂點，CD為直角邊時，作PE⊥OC于E．

設直線y=﹣2x向下平移m個單位，則直線CD解析式為y=﹣2x﹣m，

∴點D坐標（0，﹣m），點C坐標（﹣ ，0），

∴OD=m，OC= ，

∴OD=20C，

∵△PCD與△OCD相似，

∴CD=2PC或PC=2CD，

①當CD=2PC時，

∵∠PCD=90°，

∴∠PCE+∠DCO=90°，∠DCO+∠CDO=90°，

∴∠PCE=∠CDO，

∵∠PEC=∠COD=90°，

∴△COD∽△PEC，

∴ = = =2，

∴EC= ，PE= ，

∴點P坐標（﹣m，﹣ ），代入y=x2+x，

得﹣ =m2﹣m，解得m= 或（0舍棄）

∴點P坐標（﹣ ，﹣ ）．

②PC=2CD時，由 = = = ，

∴EC=2m，PE=m，

∴點P坐標（﹣ m，﹣m），代入y=x2+x，

得﹣m= m2﹣ m，

解得m= 和（0舍棄），

∴點P坐標（﹣ ，﹣ ）．

【解析】（1）利用待定系數法求得拋物線的解析式即可得；
（2）直接把A、B、C三點的坐標代入（1）中所求得解析式可得y1，y2，y3的值，再代入所給的得y1，y2，y3之間的關系式化簡解方程可得；
（3）分D、C分別為直角頂點來討論求解.注意C為直角頂點存在兩種情況：CD=2PC和PC=2CD.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解去分母法的相關知識，掌握先約后乘公分母，整式方程轉化出．特殊情況可換元，去掉分母是出路．求得解后要驗根，原留增舍別含糊，以及對二次函數圖象的平移的理解，了解平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減．