Question

【題目】已知AB是半徑為1的圓O直徑，C是圓上一點，D是BC延長線上一點，過點D的直線交AC于E點，交AB于點F，DF=BF，EA=EF．

（1）求證：△AEF為等邊三角形；

（2）若CF⊥AB，①試說明DC = CF；②求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②

【解析】

（1）根據直徑可得，再根據等腰三角形和外角定理可得，再根據EF=EA，即可得到結果；

（2）①連接OC，則OA=OC，由（1）可得，得到三角形AOC是等邊三角形，再由CF⊥AB，根據三線合一的性質可得到角的關系，即可得到結果；②根據已知條件證明，可得，根據勾股定理即可得到結果．

（1）證明：由圖可知。

∵AB是O的直徑

∴，

∴，

∵DF=BF，

∴，

∴，

∵EA=EF，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵EF=EA，

∴△AEF是等邊三角形．

（2）①如圖所示，

連接OC，則OA=OC，由（1）可得，

∴三角形AOC是等邊三角形，

又∵CF⊥AB，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴CD=CF．

②由題可得圓的半徑為1，

由①可得：,，

∴，

∴AC=OC=CA=1，

∴，

∴，

∴．