Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象與x軸的一個交點為A（4，0），與y軸的交點為B，過A、B的直線為．

（1）求二次函數的解析式及點B的坐標；

（2）由圖象寫出滿足的自變量x的取值范圍；

（3）在兩坐標軸上是否存在點P，使得△ABP是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1），B（0，3）；（2）x＜0或x＞4；（3）P1（0，），P2（，0）．

【解析】

（1）將A點坐標代入y1，可得拋物線的解析式，根據自變量為零，可得B點坐標；

（2）根據一次函數圖象在上方的部分是不等式的解集，觀察圖象可得到答案；

（3）根據線段垂直平分線上的點到線段兩點間的距離相等，可得P在線段的垂直平分線上，根據直線AB，可得AB的垂直平分線，根據自變量為零，可得P在y軸上，根據函數值為零，可得P在x軸上．

解：（1）將A點坐標代入，得：﹣16+13+c=0．解得c=3，

∴二次函數的解析式為，

∵當x=0時，=3，

∴B點坐標為（0，3）；

（2）由圖象得直線在拋物線上方的部分，是x＜0或x＞4，

∴x＜0或x＞4時，；

（3）存在，解答如下：

根據線段垂直平分線上的點到線段兩點間的距離相等，可得P在線段的垂直平分線上，作線段AB的垂直平分線l，垂足為C，

∵A（4，0），B（0，3），設直線AB解解析式為，

則有：，解得：，

∴直線AB的解析式為，

設AB的垂直平分線l的解析式為：，

∵直線l過AB的中點為（2，），

∴，解得：，

∴AB的垂直平分線l的解析式為，

①當x=0時，y=，P1（0，），

②當y=0時，x=，P2（，0），

綜上所述：P1（0，），P2（，0），使得△ABP是以AB為底邊的等腰三角形．