Question

【題目】如圖，等腰直角△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，點M在AD上，連接BM，過點C作CN⊥BM于點E，交AB于N，交BD于F，連接DE，AE．

（1）若∠BCN＝30°，EN＝2，求AN的長；

（2）若DE⊥AE于E，DG⊥DE交CN于G，求證：CE＝AE．

Answer 1

【答案】（1）4-4（2）證明見解析

【解析】

（1）根據∠ABC＝90°，CN⊥BM可得∠EBN=∠BCN＝30°,根據直角三角形的性質求出BN，再根據勾股定理求出BC的值，再根據AB＝BC即可解決問題；

（2）根據等腰三角形的性質證出D為AC的中點證明，再根據AE⊥DE，DE⊥DG得出DG∥AE，進而證明DG＝AE，再證明△DEG是等腰直角三角形即可解決問題；

（1）解：∵∠BCN＝30°，∠CBN＝90°，

∴∠CNB＝60°，∵BE⊥CN，∴∠EBN＝30°，

∵EN＝2，∴BN＝4，∴CN＝8

∴BC＝BA＝4，

∴AN＝AB﹣BN＝4﹣4．

（2）∵BA＝BC，BD⊥AC，

∴AD＝DC＝BD，

∵AE⊥DE，DE⊥DG，

∴∠AED＝∠EDG＝90°，

∴DG∥AE，

∴EG＝GC，

∴DG＝AE，

∠EDG＝∠BDC＝90°，

∴∠BDE＝∠CDG，

∵∠BEF＝∠FDC＝90°，∠BFE＝∠CFD，

∴∠DBE＝∠DCG，∵BD＝CD，

∴△BDE≌△CDG，

∴DE＝DG，

∴EG＝DG，

∴2EG＝（2DG），

即EC＝AE．