Question

【題目】如圖1，二次函數y1=(x﹣2)(x﹣4)的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），其對稱軸l與x軸交于點C，它的頂點為點D．

（1）寫出點D的坐標 ．

（2）點P在對稱軸l上，位于點C上方，且CP=2CD，以P為頂點的二次函數y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點A．

①試說明二次函數y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點B；

②點R在二次函數y1=（x﹣2）（x﹣4）的圖象上，到x軸的距離為d，當點R的坐標為 時，二次函數y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象上有且只有三個點到x軸的距離等于2d；

③如圖2，已知0＜m＜2，過點M（0，m）作x軸的平行線，分別交二次函數y1=（x﹣2）（x﹣4）y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象于點E、F、G、H（點E、G在對稱軸l左側），過點H作x軸的垂線，垂足為點N，交二次函數y1=（x﹣2）（x﹣4）的圖象于點Q，若△GHN∽△EHQ，求實數m的值．

Answer 1

【答案】（1）（3，﹣1）（2）①二次函數y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點B②（3﹣，1）、（3+，1）或（3，﹣1）③當△GHN∽△EHQ，實數m的值為1．

【解析】（1）∵y1=（x﹣2）（x﹣4）=x2﹣6x+8=（x﹣3）2﹣1，

∴頂點D的坐標為（3，﹣1）．故答案為：（3，﹣1）．

（2）①∵點P在對稱軸l上，位于點C上方，且CP=2CD，∴點P的坐標為（3，2），

∴二次函數y1=（x﹣2）（x﹣4）與y2=ax2+bx+c的圖象的對稱軸均為x=3，

∵點A、B關于直線x=3對稱，∴二次函數y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點B．

②∵二次函數y2=ax2+bx+c的頂點坐標P（3，2），且圖象上有且只有三個點到x軸的距離等于2d，∴2d=2，解得：d=1．令y1=（x﹣2）（x﹣4）=x2﹣6x+8中y1=±1，即x2﹣6x+8=±1，

解得：x1=3﹣，x2=3+，x3=3，∴點R的坐標為（3﹣，1）、（3+，1）或（3，﹣1）．

故答案為：（3﹣，1）、（3+，1）或（3，﹣1）．

③設過點M平行x軸的直線交對稱軸l于點K，直線l也是二次函數y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對稱軸．

∵二次函數y2=ax2+bx+c過點A、B，且頂點坐標為P（3，2），

∴二次函數y2=﹣2（x﹣2）（x﹣4）．

設N（n，0），則H（n，﹣2（n﹣2）（n﹣4）），Q（n，（n﹣2）（n﹣4）），

∴HN=2（n﹣2）（n﹣4），QN=（n﹣2）（n﹣4），∴=2，即=．

∵△GHN∽△EHQ，∴．∵G、H關于直線l對稱，∴KG=KH=HG，∴．

設KG=t（t＞0），則G的坐標為（3﹣t，m），E的坐標為（3﹣2t，m），

由題意得：，解得：或（舍去）．

故當△GHN∽△EHQ，實數m的值為1．