Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直角三角形AOB的頂點A、B分別落在坐標軸上．O為原點，點A的坐標為（6，0），點B的坐標為（0，8）．動點M從點O出發．沿OA向終點A以每秒1個單位的速度運動，同時動點N從點A出發，沿AB向終點B以每秒個單位的速度運動．當一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設動點M、N運動的時間為t秒（t＞0）．

（1）當t=3秒時，直接寫出點N的坐標；

（2）在此運動的過程中，△MNA的面積是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；

（3）當t為何值時，△MNA是一個等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）N（3，4），；（2）存在，最大值為6；（3）2或或．

【解析】試題分析：（1）根據A、B的坐標和勾股定理可得AB=10，當t=3秒時，AN= ,即N是AB的中點，由此得出點N的坐標為（3,4），設交點式利用待定系數法求出拋物線解析式；（2）過N作MA邊上的高NC，先由∠BAO的正弦值求出NC的表達式，而AM=OA-OM，由三角形的面積公式可得到關于S△MNA關于t的函數關系式，由二次函數的最值原理即可求出△MNA的最大面積（3）首先求出N點的坐標，然后表示出AM、MN、AN三邊的長，分三種情況討論：①MN=NA、②MN=MA、③NA=MA；直接根據等量關系列方程求解即可。

試題解析：解：（1）N（3，4）。

∵A（6，0）

∴可設經過O、A、N三點的拋物線的解析式為：y=ax（x﹣6），則將N（3，4）代入得

4=3a（3﹣6），解得a=﹣。

∴拋物線的解析式： 。

（2）存在。過點N作NC⊥OA于C，

由題意，AN=t，AM=OA﹣OM=6﹣t，

∴NC=NAsin∠BAO= 。

∴。

∴△MNA的面積有最大值，且最大值為6。

（3）在Rt△NCA中，AN=t，NC=ANsin∠BAO= ，AC=ANcos∠BAO=t。

∴OC=OA﹣AC=6﹣t。∴N（6﹣t， ）。

∴。

又AM=6﹣t且0＜t＜6，

①當MN=AN時， ，即t2﹣8t+12=0，解得t1=2，t2=6（舍去）。

②當MN=MA時， ，即，解得t1=0（舍去），t2=。

③當AM=AN時，6﹣t=t，即t=。

綜上所述，當t的值取 2或或時，△MAN是等腰三角形。