Question

【題目】（1）如圖1，AB∥CD，點M為直線AB，CD所確定的平面內的一點，若∠A105，∠M108，請直接寫出∠C的度數 ；

（2）如圖2，AB∥CD，點P為直線AB，CD所確定的平面內的一點，點E在直線CD上，AN平分∠PAB，射線AN的反向延長線交∠PCE的平分線于M，若∠P30，求∠AMC的度數；

（3）如圖3，點P與直線AB，CD在同一平面內，AN平分∠PAB，射線AN的反向延長線交∠PCD的平分線于M，若AMC180P，求證：AB∥CD．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明過程見解析

【解析】

（1）直接添加輔助線AC，結合三角形的內角和以及平行線的同旁內角即可求解；

（2）延長BA與CP交于Q，記CQ和AM交于點H，先根據AN平分∠PAB，利用三角形的外角和對頂角，用含∠BAN的式子來表示∠MHC，再∵AB∥CD，得到，通過CM平分∠PCE，得到∠MCH可以用含∠BAN的式子來表示，最后利用三角形的內角和即可求出答案；

（3）添加輔助線AC，則，，結合已知AMC180P，得到，即可求到的值，通過角平分線就知道了，即可求到，就得到了AB∥CD．

解：（1）如圖，連接AC，

在中，，

∵AB∥CD，

，

，

∵∠A105，∠M108，

∴；

（2）如圖，延長BA與CP交于Q，記CQ和AM交于點H，

∵AN平分∠PAB，

，

，

∵∠P30，

∴，

，

∵AB∥CD，

，

∵CM平分∠PCE，

，

，；

（3）如圖，連接AC，

則，，

∵AMC180P，

，

，

即，

∵AN平分∠PAB，MC平分∠PCD，

，

，

，

∴AB∥CD．