Question

【題目】定義：在同一平面內，如果矩形ABCD的四個頂點到⊙M上一點的距離相等，那么稱這個矩形ABCD是⊙M的“伴侶矩形”．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l：y= x﹣3交x軸于點M，⊙M的半徑為2，矩形ABCD沿直線運動（BD在直線l上），BD=2，AB∥y軸，當矩形ABCD是⊙M的“伴侶矩形”時，點C的坐標為（ ）

A.（ ﹣ ，﹣ ）
B.（ ﹣ ，﹣ ）
C.（ ﹣ ，﹣ ）或（ + ，﹣ ）
D.（ ﹣ ，﹣ ）或（ + ， ）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：如圖所示，矩形在這兩個位置時就是⊙M的“伴侶矩形”，

根據直線l：y= x﹣3得：OM= ，ON=3，

由勾股定理得：MN= =2 ，

①矩形在x軸下方時，分別過A、D作兩軸的垂線AH、DG，

由cos∠ABD=cos∠ONM= = ，

∴ = ，

∴AB= ，則AD=1，

∵DG∥y軸，

∴△MDG∽△MNO，

∴ = ，

∴ = ，

∴DG= ，

∴CG= + = ，

同理可得： = ，

∴ = ，

∴DH= ﹣ ，

∴C（ ﹣ ，﹣ ）；

②矩形在x軸上方時，同理可得：C（ + ， ）；

綜上所述，C（ ﹣ ，﹣ ）或（ + ， ）；．

所以答案是：C．

【考點精析】本題主要考查了矩形的性質和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．