Question

【題目】如圖，是的內接三角形，的角平分線交于點，交于點，過點作直線．

（1）判斷直線與的位置關系，并說明理由；

（2）若在上取一點使，求證：是的平分線；

（3）在（2）的條件下，若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）直線與相切，理由詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）如圖（見解析），先根據角平分線的定義、圓周角定理得出，再根據垂徑定理得出，然后根據平行線的性質得出，最后根據圓的切線的判定即可得證；

（2）先根據等腰三角形的性質得出，再根據角的和差、三角形的外角性質可得，然后根據圓周角定理可得，從而可得，最后根據角平分線的定義即可得證；

（3）根據相似三角形的判定與性質得出，由此計算即可得．

（1）直線與相切，理由如下：

如圖，連接

∵平分

∴

∴

∴半徑

∵

∴

∴直線與相切；

（2）∵

∴

∵，

∴

由圓周角定理得：

∴

∴是的平分線；

（3）∵，

∴

∴，即

解得．