Question

如圖，△ABC為等邊△，EC=ED，∠CED=120゜，P為BD的中點，求證：AE=2PE．

Answer 1

分析：延長EP至F，使FP=EP，連BF、AP、AF，先可以得出△FBP≌△EDP，就有BF=DE=CE，再由條件得出∠ABF=∠ACE就可以得出△ABF≌△ACE，得出AF=AE，∠FAB=∠CAE，得出∠FAE=60°，就有△AEF為等邊三角形即可得出結論．

解答：證明：延長EP至F，使FP=EP，連BF、AP、AF，
∵△ABC為等邊△，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°．
∵P為BD的中點，
∴BP=DP．
在△FBP和△EDP中

BP=DP ∠FPB=∠EPD FP=EP

，
∴△FBP≌△EDP（SAS），
∴BF=DE=CE．
設∠BCE=x，∠D=∠FBP=y，
∴∠ACE=60°+x，
∴∠CBD=240°-x-y，
∴∠CBF=240゜-x，
∴∠ABF=360゜-（240゜-x）-60゜=60゜+x
∴∠ABF=∠ACE，
在△ABF和△ACE中

AB=AC ∠ABF=∠ACE BF=CE

，
∴△ABF≌△ACE（SAS）
∴∠FAB=∠CAE，AF=AE．
∴∠FAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE=60°，
∴△AEF為等邊三角形．
∴AE=EF．
∴EF=2PE，
∴AE=2PE．

點評：本題考查了等邊三角形的判定及性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是解答的關鍵．