Question

如圖，△ABC為等邊三角形，D、F分別為BC、AB上的點，且CD=BF，以AD為邊作等邊△ADE．
（1）求證：△ACD≌△CBF；
（2）點D在線段BC上何處時，四邊形CDEF是平行四邊形且∠DEF=30°．

Answer 1

分析：（1）在△ACD和△CBF中，根據已知條件有兩邊和一夾角對應相等，可根據邊角邊來證明全等．
（2）當∠DEF=30°，即為∠DCF=30°，在△BCF中，∠CFB=90°，即F為AB的中點，又因為△ACD≌△CBF，所以點D為BC的中點．

解答：證明：（1）由△ABC為等邊三角形，AC=BC，∠FBC=∠DCA，
在△ACD和△CBF中，

AC=BC ∠DCA=∠FBC CD=BF

，
所以△ACD≌△CBF（SAS）；

（2）當D在線段BC上的中點時，四邊形CDEF為平行四邊形，且角DEF=30度
按上述條件作圖，
連接BE，

在△AEB和△ADC中，
AB=AC，∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°，即∠EAB=∠DAC，AE=AD，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
又∵△ACD≌△CBF，
∴△AEB≌△ADC≌△CFB，
∴EB=FB，∠EBA=∠ABC=60°，
∴△EFB為正三角形，
∴EF=FB=CD，∠EFB=60°，
又∵∠ABC=60°，
∴∠EFB=∠ABC=60°，
∴EF∥BC，
而CD在BC上，∴EF平行且相等于CD，
∴四邊形CDEF為平行四邊形，
∵D在線段BC上的中點，
∴F在線段AB上的中點，
∴∠FCD=

1

2

×60°=30°
則∠DEF=∠FCD=30°．

點評：本題考查了平行四邊形的判定和三角形全等的知識，三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．