Question

如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點P，BQ⊥AD與Q，PQ=4，PE=1
（1）求證∠BPQ=60°
（2）求AD的長．

Answer 1

分析：（1）由于△ABC是等邊三角形，那么有AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，而AE=CD，利用SAS可證△BAE≌△ACD，從而有∠1=∠2，根據∠BAE=∠1+∠BAD=60°，等量代換則有∠2+∠BAD=60°，再利用三角形外角性質可得∠BPQ=60°；
（2）在Rt△BPQ，易求∠PBQ=30°，于是可求BP，進而可求BE，而△BAE≌△ACD，那么有AD=BE=9．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，
又∵AE=CD，
∴△BAE≌△ACD，
∴∠1=∠2，
∵∠BAE=∠1+∠BAD=60°，
∴∠BAE=∠2+∠BAD=60°，
∴∠BPQ=60°；
（2）∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
又∵∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=2×4=8，
∴BE=BP+PE=8+1=9，
由（1）知△BAE≌△ACD，
∴AD=BE=9．

點評：本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質、含有30°的直角三角形的性質，解題的關鍵是證明△BAE≌△ACD．