Question

【題目】已知二次函數y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m．

(1)當m=2時，求二次函數圖象的頂點坐標；

(2)已知拋物線與x軸交于不同的點A、B．

①求m的取值范圍；

②若3≤m≤4時，求線段AB的最大值及此時二次函數的表達式．

Answer 1

【答案】(1)(，﹣)；(2)①m≠0且m≠；②AB的最大值為15，y=4x2﹣7x﹣11

【解析】

(1)當m=2時，y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m=x2﹣3x﹣5，即可求解；

(2)①△＞0且m≠0，即可求解；②y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m=(x﹣3m+1)(x+m)，令y=0，則x=3m﹣1或﹣m，即可求解．

(1)當m=2時，y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m=x2﹣3x﹣5，

函數的對稱軸為直線x=﹣，

當x=時，y=x2﹣3x﹣5=﹣，

故頂點坐標為(，﹣)；

(2)①△=b2﹣4ac=(1﹣2m)2﹣4m(1﹣3m)=(4m﹣1)2＞0，

故4m﹣1≠0，解得：m≠ ；

而y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m為二次函數，故m≠0，

故m的取值范圍為：m≠0且m≠；

②y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m=(x﹣3m+1)(x+m)，

令y=0，則x=3m﹣1或﹣m，

則AB=|3m﹣1+m|=|4m﹣1|，

∵3≤m≤4，

∴12≤4m﹣1≤15，

故AB的最大值為15，

此時m=4，

當m=4時，y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m=4x2﹣7x﹣11．