Question

【題目】問(wèn)題的提出:

如果點(diǎn)P是銳角△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，如何確定一個(gè)位置，使點(diǎn)P到△ABC的三頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC的值為最小?

問(wèn)題的轉(zhuǎn)化:

(1)把ΔAPC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到連接這樣就把確定PA+PB+PC的最小值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成確定的最小值的問(wèn)題了,請(qǐng)你利用如圖證明:

；

問(wèn)題的解決:

(2)當(dāng)點(diǎn)P到銳角△ABC的三項(xiàng)點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC的值為最小時(shí)，請(qǐng)你用一定的數(shù)量關(guān)系刻畫此時(shí)的點(diǎn)P的位置:_____________________________；

問(wèn)題的延伸：

(3)如圖是有一個(gè)銳角為30°的直角三角形，如果斜邊為2，點(diǎn)P是這個(gè)三角形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)你利用以上方法，求點(diǎn)P到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠APB=∠APC=120°；（3）．

【解析】

（1）問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△APP'是等邊三角形，則PP'=PA，可得結(jié)論；

（2）問(wèn)題的解決：

運(yùn)用類比的思想，把△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△AP′C′，連接PP′，由“問(wèn)題的轉(zhuǎn)化”可知：當(dāng)B、P、P'、C'在同一直線上時(shí)，PA+PB+PC的值為最小，確定當(dāng)：∠APB=∠APC=120°時(shí)，滿足三點(diǎn)共線；

（3）問(wèn)題的延伸：

如圖3，作輔助線，構(gòu)建直角△ABC'，利用勾股定理求AC'的長(zhǎng)，即是點(diǎn)P到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值．

問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：

如圖1，

由旋轉(zhuǎn)得：∠PAP'=60°，PA=P'A，

∴△APP'是等邊三角形，

∴PP'=PA，

∵PC=P'C，

∴PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′．

問(wèn)題的解決：

滿足：∠APB=∠APC=120°時(shí)，PA+PB+PC的值為最小；

理由是：如圖2，把△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△AP′C′，連接PP′，

由“問(wèn)題的轉(zhuǎn)化”可知：當(dāng)B、P、P'、C'在同一直線上時(shí)，PA+PB+PC的值為最小，

∵∠APB=120°，∠APP'=60°，

∴∠APB+∠APP'=180°，

∴B、P、P'在同一直線上，

由旋轉(zhuǎn)得：∠AP'C'=∠APC=120°，

∵∠AP'P=60°，

∴∠AP'C'+∠AP'P=180°，

∴P、P'、C'在同一直線上，

∴B、P、P'、C'在同一直線上，

∴此時(shí)PA+PB+PC的值為最小，

故答案為∠APB=∠APC=120°；

問(wèn)題的延伸：

如圖3，

Rt△ACB中，∵AB=2，∠ABC=30°，

∴AC=1，BC=，

把△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△BP′C′，連接PP′，

當(dāng)A、P、P'、C'在同一直線上時(shí)，PA+PB+PC的值為最小，

由旋轉(zhuǎn)得：BP=BP'，∠PBP'=60°，PC=P'C'，BC=BC'，

∴△BPP′是等邊三角形，

∴PP'=PB，

∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C'BP'=30°，

∴∠ABC'=90°，

由勾股定理得：AC'=，

∴PA+PB+PC=PA+PP'+P'C'=AC'=，

則點(diǎn)P到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值為．