Question

【題目】已知：在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點、，與軸交于點，拋物線的頂點到軸的距離為，．

（1）如圖1，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點為第三象限內的拋物線上一點，連接交軸于點，過點作軸于點，連接并延長交于點，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點為第二象限內的拋物線上的一點，分別連接、，點為的中點，點為第二象限內的一點，分別連接，，，且，，若，求點的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）見詳解；（3）

【解析】

（1）把化為函數的頂點式y=，得到頂點坐標Z（-1，4），即可得出m=4，令y=0，求出x的值，即為A、B兩點的橫坐標，根據即可求出a的值，代入函數解析式即可；

（2）由（1）可得出點A（-3，0），點B（1，0），點C（0，3），設P（t， ），利用PH∥y軸得出，推出OD=-t-3，進而證得EH=AH=-3-t即可得出結論；

（3）連接DE，延長CG交DE于N，可證得2∠QEH=∠ENQ，通過作CK⊥DQ，推出△CKD≌△EQD，設QK=x，利用勾股定理得到方程，解出x=，由等積法求出QM，進而得出tan∠QCM，設Q點坐標（m，-），由，解出m值即得到點Q的橫坐標．

（1）根據題意知，，

=，

∴頂點Z的坐標為（-1，4），

∵頂點Z到x軸距離為4，

∴m=4，

令y=0，則，

解得x==，

∴A（，0），B（，0），

∵AB==，

∴=，

∴a=1，

∴拋物線的解析式為y=，

故答案為：y=；

（2）由（1）知，點A（-3，0），點B（1，0），點C（0，3），

設P（t， ），

∵PH⊥x軸，即PH∥y軸，

∴H（t，0），且，PH=，BH=1-t，OB=1，

∴，

∴OD===-t-3，

∵OA=3，OC=3，

∴∠CAO=∠HAE=45°，

∴EH=AH=-3-t，

∴OD=EH；

（3）連接DE，延長CG交DE于N，

∵EH=OD，EH∥OD，

∴DE∥x軸，

∴∠CDE=90°，

∵CG=DG，

∴G為CN中點，

∴FG∥QN，且FG=QN，

∵CD=4FG，

∴CD=2QN，

∵∠CDG=∠2=∠1，

∴90°+∠CDG=∠90°+∠1=∠CNE，

∴∠CNE-∠CGF=∠CNE-∠4，

∴2∠QEH=∠ENQ，

設∠QEH=，∠ENQ=2，

∴∠QEN=90°-=∠EQN，

∴QN=EN，

∵CD=ED，

∴DE=2EN，

∴ND=EN=QN，

∴∠EQD=90°，

過點C作CK⊥DQ，

M型全等，

∴△CKD≌△EQD，

∴EQ=DK，CK=QD，

設EQ=3=DK，

CQ=，

QK=x，

∴CK=x+3，

∴，

∴，

∴，（舍），

∴CK=+3=4，

∴CD=5，

等積法：

QD×CK=CD×QM，

∴4×4=5×QM，

QM=，

∴CM=，

∴tan∠QCM=，

設Q（m，-），

∴QM=-m，CM=3-（-）=，

∴，

∴16+45m=0，

∴（舍），，

∴，

故答案為：．