Question

【題目】已知函數y1＝2kx+k與函數，定義新函數y＝y2﹣y1

（1）若k＝2，則新函數y＝　 　；

（2）若新函數y的解析式為y＝x2+bx﹣2，則k＝　 　，b＝　 　；

（3）設新函數y頂點為（m，n）．

①當k為何值時，n有大值，并求出最大值；

②求n與m的函數解析式；

（4）請你探究：函數y1與新函數y分別經過定點B，A，函數的頂點為C，新函數y上存在一點D，使得以點A，B，C，D為頂點的四邊形為平行四邊形時，直接寫出k的值．

Answer 1

【答案】（1）x2﹣6x+1；（2）5，﹣12；（3）①；② n＝﹣m2﹣m+4；（4）或﹣或﹣．

【解析】

（1）把代入 再把代入新函數即可得到答案，

（2）利用新函數的定義，結論關于的方程組即可得到答案，

（3）①利用新函數的定義，寫出函數解析式，化為頂點式，利用二次函數的性質可得答案，②利用頂點坐標，消去

得到答案，

（4）先分別求解的坐標，設，分三種情況討論，利用平行四邊形的對角線互相平分及中點坐標公式可得答案．

解：（1）當k＝2時，y1＝2kx+k＝4x+2，

∵函數，定義新函數y＝y2﹣y1，

∴y＝x2﹣2x+3﹣4x﹣2＝x2﹣6x+1，

故答案為：x2﹣6x+1；

（2）函數y1＝2kx+k與函數，定義新函數y＝y2﹣y1，

∴新函數y的解析式為y＝x2﹣2x+3﹣2kx﹣k＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k，

∵新函數y的解析式為y＝x2+bx﹣2，

∴b＝，3﹣k＝﹣2，

∴k＝5，b＝﹣12，

故答案為：5，﹣12；

（3）①由（2）知，新函數y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k＝（x﹣k﹣1）2﹣k2﹣3k+2，

∵新函數y頂點為（m，n），

∴

∴，

當時，的最大值

②由①知，

將k＝m﹣1代入n＝﹣k2﹣3k+2得：

∴n＝﹣m2﹣m+4；

（4）∵函數y1＝2kx+k＝k（2x+1），

當2x+1＝0即x＝時，y＝0，

∴A（，0），

∵新函數y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k＝x2﹣2（k+1）x﹣（k+1）+4＝x2﹣（k+1）（2x+1）+4，

當2x+1＝0，即x＝時，y＝

∴B，

∵函數

∴C（1，2），

設D（c，d），

∵以點A，B，C，D為頂點的四邊形為平行四邊形，

∴①當BC與AD為對角線時，

∴

∴D（1，），

將點D坐標代入新函數y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k，

得，1﹣2（k+1）+3﹣k＝，

∴

②當AB與CD是對角線時，

∴D（），

將點D坐標代入新函數y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k

得，4+4（k+1）+3﹣k＝，

∴k＝，

③當AC與BD為對角線時，

∴

∴D（1，），

將點D坐標代入新函數y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k

得，1﹣2（k+1）+3﹣k＝，

∴k＝，

即滿足條件的k的值為或或．