Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，對角線AC．BD交于點O，AC平分∠BAD，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E．連接OE．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若AB=．OE=2，求線段CE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）先根據題意得出∠OAB=∠DCA，然后進一步證明出∠DCA=∠DAC，得出CD=AD=AB，然后接著進一步證明即可；

（2）先根據題意得出OE=OA=OC=2，再進一步得出OB=1，通過證明△AOB∽△AEC然后利用相似三角形性質進一步求解即可.

（1）證明：∵AB∥CD，

∴∠OAB=∠DCA，

∵AC為∠DAB的平分線，

∴∠OAB=∠DAC，

∴∠DCA=∠DAC，

∴CD=AD=AB，

∵AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AD=AB，

∴平行四邊形ABCD是菱形；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，

∴OA=OC，BD⊥AC．

∵CE⊥AB，

∴OE=OA=OC=2，

∴OB==1，AC=OA+OC=4，

∵∠AOB=∠AEC=90°，∠OAB=∠EAC，

∴△AOB∽△AEC，

∴，

∴=，

∴CE=．