Question

【題目】定義：有一組對角互補的凸四邊形叫做“對補四邊形”，性質：“對補四邊形”一定是圓內接四邊形．
（1）概念理解：請你根據上述描述定義舉一個“對補四邊形”的例子；
（2）問題探究：如圖1，在對補四邊形ABCD中，如果∠A=∠C，試探究AB、AD、BC、CD之間的數量關系，并說明理由；

（3）應用拓展：如圖2，在四邊形ABCD中，AB≠BC，∠A=∠C=90°，連接BD，將△BCD沿BD折疊，得到△BFD．

①連接AF，四邊形ABDF是對補四邊形嗎？請說明理由；
②若AB=1，BD=2，且BF把△ABD分成兩個三角形的面積比為1：2，請求出CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：矩形是“對補四邊形”

（2）解：AB2+AD2=BC2+CD2；理由如下：

連接BD，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是“對補四邊形”，

∴∠A=+∠C=90°，

∵∠A=∠C，

∴∠A=∠C=90°，

∴AB2+AD2=BD2，BC2+CD2=BD2，

∴AB2+AD2=BC2+CD2

（3）解：①四邊形ABDF是對補四邊形，理由如下：

∵∠BAD=∠C=90°，

∴∠BAD+∠C=180°，

∴A、B、C、D四點共圓，

由折疊的性質得：∠BFD=∠BAD=90°，

∴點F在A、B、C、D四點共圓的這個圓上，

∴∠BAF+∠BDF=180°，

∴四邊形ABDF是對補四邊形；

②∵AB=1，BD=2，∠BAD=90°，

∴sin∠ADB= = ，AD= = ，

∴∠ADB=30°，

∴∠ABD=60°，

設AD與BF交于點P，作PM⊥BD于M，如圖2所示：

∵BF把△ABD分成兩個三角形的面積比為1：2，

∴AP：PD=1：2，或PD：AP=1：2，

，當AP：PD=1：2時，AP= AD= ，PD= AD= ，

∴∠ADB=30°，

∴PM= PD= =PA，

∴∠ABP=∠DBP= ∠ABD=30°，

∵∠BFD=90°，

∴DF= BD=1，

∴CD=DF=1；

當PD：AP=1：2時，PD= AD= ，AP= AD= ，

∴BP= = ，

∵∠BAD=∠BFD=90°，∠APB=∠FPD，

∴△ABP∽△FDP，

∴ ，即 ，

解得：FD= ，

∴CD=FD= ；

綜上所述：CD的長為1或 ．

【解析】（1）由矩形的性質容易得出矩形是“對補四邊形”

（2）連接BD，由“對補四邊形”的定義得出∠A=+∠C=90°，由已知得出∠A=∠C=90°，由勾股定理得出AB2+AD2=BD2，BC2+CD2=BD2，即可得出結論；

（3）①證明A、B、C、D四點共圓，由折疊的性質得：∠BFD=∠BAD=90°，證出點F在A、B、C、D四點共圓的這個圓上，由圓內接四邊形的性質得出∠BAF+∠BDF=180°，即可得出結論；②由三角函數得出sin∠ADB= = ，由勾股定理求出AD= = ，得出∠ADB=30°，由直角三角形的性質得出∠ABD=60°，設AD與BF交于點P，作PM⊥BD于M，由已知得出AP：PD=1：2，或PD：AP=1：2，分別求出DF的長，即可得出CD的長．

【考點精析】認真審題，首先需要了解相似三角形的應用(測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解)．