Question

【題目】如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于點E，點F是BC的中點．

（1）如圖1，BE的延長線與AC邊相交于點D，求證：EF=（AC﹣AB）；

（2）如圖2，請直接寫出線段AB、AC、EF之間的數量關系。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）EF＝(AB－AC)，理由詳見解析.

【解析】

（1）先證明AB=AD，根據等腰三角形的三線合一，推出BE=ED，根據三角形的中位線定理即可解決問題；

（2）先證明AB=AP，根據等腰三角形的三線合一，推出BE=ED，根據三角形的中位線定理即可解決問題．

(1)證明　如圖1中，

∵AE⊥BD，

∴∠AED＝∠AEB＝90°，

∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∠DAE＋∠ADE＝90°，

∵∠BAE＝∠DAE，

∴∠ABE＝∠APE，

∴AB＝AD，∵AE⊥BD，

∴BE＝DE，∵BF＝FC，

∴EF＝DC＝(AC－AD)＝(AC－AB)．

(2)結論：EF＝(AB－AC)，

理由：如圖2中，延長AC交BE的延長線于P.

∵AE⊥BP，

∴∠AEP＝∠AEB＝90°，

∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∠PAE＋∠APE＝90°，

∵∠BAE＝∠PAE，

∴∠ABE＝∠ADE，

∴AB＝AP，

∵AE⊥BD，

∴BE＝PE，

∵BF＝FC，

∴EF＝PC＝(AP－AC)＝(AB－AC)．