Question

【題目】如圖，△PAB內接于⊙O，ABCD的邊AD是⊙O的直徑，且∠C＝∠APB，連接BD．

（1）求證：BC是⊙O的切線．

（2）若BC＝2，∠PBD＝60°，求與弦AP圍成的陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）連接OB，利用平行四邊形的性質，切線的判定定理即可得到BC是⊙O的切線；
（2）連結OP，作OE⊥AP于E，在Rt△OAE中中，利用三角函數得到OE，然后根據扇形面積公式進行計算即可．

解：（1）連結OB，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠C＝∠BAD，AD∥BC，

∵∠APB＝∠ADB，∠C＝∠APB，

∴∠BAD＝∠ADB，

∴AB＝BD，

∵OA＝OD，

∴OB⊥AD，

∴∠AOB＝90°，

∵AD∥BC，

∴∠OBC＝∠AOB＝90°，

∴OB⊥BC，

∵OB為半徑，

∴BC是⊙O的切線．

（2）連結OP，作OE⊥AP于E，

∵∠PAD＝∠PBD＝60°，OA＝OP，

∴PA＝OA＝OP，∠AOP＝60°，

在ABCD中，AD＝BC＝2，

∴AP＝OA＝1，

在Rt△OAE中，OE＝OAsin60°＝，

與弦AP圍成的陰影部分的面積為：﹣×1×＝﹣．