Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，DB=6，AD=3，在Rt△PEF中，∠PEF=90°，EF=3，PF=6，△PEF（點F和點A重合）的邊EF和矩形的邊AB在同一直線上.現將Rt△PEF從A以每秒1個單位的速度向射線AB方向勻速平移，當點F與點B重合時停止運動，設運動時間為t秒，

解答下列問題：

（1）如圖1，連接PD，填空：∠PFD= ，四邊形PEAD的面積是 ；

（2）如圖2，當PF經過點D時，求 △PEF運動時間t的值；

（3）在運動的過程中，設△PEF與△ABD重疊部分面積為S，請求出S與t的函數關系式.

Answer 1

【答案】（1）300，；（2）；（3）見解析.

【解析】（1）根據銳角三角形函數可求出角的度數，然后根據勾股定理求出PE的長，再根據梯形的面積公式求解.

（2）當PF經過點D時，PE∥DA，由EF=3，PF=6，可得∠EPD=∠ADF=30°，用三角函數計算可得AF=t=；

（3）根據題意，分三種情況：①當0≤t＜時，②≤t＜3時，③3≤t≤6時，根據三角形、梯形的面積的求法，求出S與t的函數關系式即可.

（1）∵在Rt△PEF中，∠PEF=90°，EF=3，PF=6

∴sin∠P=

∴∠P=30°

∵PE∥AD

∴∠PAD=300，

根據勾股定理可得PE=3，

所以S四邊形PEAD=×（3+3）×3=；

（2）當PF經過點D時，PE∥DA，由EF=3，PF=6，得∠EPF=∠ADF=30°，

在Rt△ADF中，由AD=3，得AF=，所以t= ；

（3）分三種情況討論：

①當0≤t＜時， PF交AD于Q，∵AF=t，AQ=t，∴S=×t×t=；

②當≤t＜3時，PF交BD于K，作KH⊥AB于H，∵AF=t，∴BF=3-t，S△ABD=，

∵∠FBK=∠FKB，∴FB=FK=3-t，KH=KF×sin600=,∴S=S△ABD﹣S△FBK =

③當3≤t≤3時，PE與BD交O，PF交BD于K，∵AF=t，∴AE=t-3，BF=3-t,

BE=3-t+3，OE=BE×tan300=，∴S=。