Question

【題目】（2013年四川廣安10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c經過A、B、C三點，已知點A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此拋物線的解析式．

（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點，（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點E，作PD⊥AB于點D．

①動點P在什么位置時，△PDE的周長最大，求出此時P點的坐標；

②連接PA，以AP為邊作圖示一側的正方形APMN，隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當頂點M或N恰好落在拋物線對稱軸上時，求出對應的P點的坐標．（結果保留根號）

Answer 1

【答案】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經過點A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），

∴，解得。

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3。

（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），∴OA=OB=3。∴△AOB是等腰直角三角形。∴∠BAO=45°。

∵PF⊥x軸，∴∠AEF=90°﹣45°=45°。

又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形。∴PD越大，△PDE的周長越大。

易得直線AB的解析式為y=x+3，

設與AB平行的直線解析式為y=x+m，

聯立，消掉y得，x2+3x+m﹣3=0，

當△=32﹣4×1×（m﹣3）=0，即m=時，直線與拋物線只有一個交點，PD最長，

此時x=，y=+=，

∴點P（，）時，△PDE的周長最大。

②拋物線y=﹣x2﹣2x+3的對稱軸為直線，

（i）如圖1，點M在對稱軸上時，過點P作PQ⊥對稱軸于Q，

在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，

∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°。

∴∠APF=∠QPM。

∵在△APF和△MPQ中，，∴△APF≌△MPQ（AAS）。∴PF=PQ。

設點P的橫坐標為n（n＜0），則PQ=﹣1﹣n，即PF=﹣1﹣n，∴點P的坐標為（n，﹣1﹣n）。

∵點P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上，∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n，整理得，n2+n﹣4=0。

解得n1=（舍去），n2=，﹣1﹣n=﹣1﹣=，

∴點P的坐標為（，）。

（ii）如圖2，點N在對稱軸上時，設拋物線對稱軸與x軸交于點Q，

∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，∴∠FPA=∠QAN。

又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，∴△APF≌△NAQ。

∴PF=AQ。

設點P坐標為P（x，﹣x2﹣2x+3），

則有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2，

解得x=（不合題意，舍去）或x=。

∴點P坐標為（，2）。

綜上所述，當頂點M恰好落在拋物線對稱軸上時，點P坐標為（，），當頂點N恰好落在拋物線對稱軸上時，點P的坐標為（，2）。

【解析】（1）把點A、B、C的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數法求二次函數解析式解答即可。

（2）①根據點A、B的坐標求出OA=OB，從而得到△AOB是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質，PD越大，△PDE的周長最大，再判斷出當與直線AB平行的直線與拋物線只有一個交點時，PD最大，再求出直線AB的解析式為y=x+3，設與AB平行的直線解析式為y=x+m，與拋物線解析式聯立消掉y，得到關于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，從而得到點P的坐標。

②先確定出拋物線的對稱軸，然后（i）分點M在對稱軸上時，過點P作PQ⊥對稱軸于Q，根據同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角邊”證明△APF和△MPQ全等，根據全等三角形對應邊相等可得PF=PQ，設點P的橫坐標為n，表示出PQ的長，即PF，然后代入拋物線解析式計算即可得解；（ii）點N在對稱軸上時，同理求出△APF和△ANQ全等，根據全等三角形對應邊相等可得PF=AQ，根據點A的坐標求出點P的縱坐標，再代入拋物線解析式求出橫坐標，即可得到點P的坐標。