Question

【題目】如圖1，在直角坐標系xoy中，O是坐標原點，點A在x正半軸上，OA=12 cm，點B在y軸的正半軸上，OB=12cm，動點P從點O開始沿OA以2 cm/s的速度向點A移動，動點Q從點A開始沿AB以4cm/s的速度向點B移動，動點R從點B開始沿BO以2cm/s的速度向點O移動．如果P、Q、R分別從O、A、B同時移動，移動時間為t（0＜t＜6）s．

（1）求∠OAB的度數．
（2）以OB為直徑的⊙O′與AB交于點M，當t為何值時，PM與⊙O′相切？
（3）是否存在△RPQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△AOB中：

tan∠OAB= = = ，

∴∠OAB=30°

（2）解：如圖，連接O′P，O′M．

當PM與⊙O′相切時，有：

∠PMO′=∠POO′=90°，

△PMO′≌△POO′．

由（1）知∠OBA=60°，

∵O′M=O′B，

∴△O′BM是等邊三角形，

∴∠BO′M=60°．

可得∠OO′P=∠MO′P=60°．

∴OP=OO′tan∠OO′P

=6×tan60°=6 ，

又∵OP=2 t，

∴2 t=6 ，t=3．

即：t=3時，PM與⊙O‘相切

（3）解：存在△RPQ為等腰三角形，

理由如下：由題意可知：PR2=16t2﹣48t，PQ2=52t2﹣288t，RQ2=28t2﹣240t+576，

當①PR=RQ時，可得t=8﹣2 （t=8+ 舍去）；

當②PR=PQ時，可得t= ；

當③RQ=PQ時，可得t=1+ （t=1﹣ 舍去）

綜上可知：當t=8﹣2 ， ，1+ 時，△RPQ為等腰三角形．

【解析】（1）在Rt△OAB中，已知了OA、OB的長，即可求出∠OAB的正切值，由此可得到∠OAB的度數；（2）連接O′M，當PM與⊙O′相切時，PM、PO同為⊙O′的切線，易證得△OO′P≌△MO′P，則∠OO′P=∠MO′P；在（1）中易得∠OBA=60°，即△O′BM是等邊三角形，由此可得到∠BO′M=∠PO′M=∠PO′O=60°；在Rt△OPO′中，根據∠PO′O的度數及OO′的長即可求得OP的長，已知了P點的運動速度，即可根據時間=路程÷速度求得t的值；（3）存在△RPQ為等腰三角形，由于△QPQ的腰和底不確定，需分類討論：①PR=RQ，②PR=PQ，③RQ=PQ時分別求出符合題意的t值即可，