Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+mx+n經過點A（3，0）、B（0，﹣3），點P是直線AB上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，設點P的橫坐標為t．

（1）分別求出直線AB和這條拋物線的解析式．
（2）若點P在第四象限，連接AM、BM，當線段PM最長時，求△ABM的面積．
（3）是否存在這樣的點P，使得以點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得

，

解得： ，

所以拋物線的解析式是y=x2﹣2x﹣3．

設直線AB的解析式是y=kx+b，

把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得： ，

解得： ，

所以直線AB的解析式是y=x﹣3

（2）

解：設點P的坐標是（t，t﹣3），則M（t，t2﹣2t﹣3），

∵p在第四象限，

∴PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣ ）2+ ，

當t= 時，二次函數取得最大值 ，即PM最長值為 ，

則S△ABM=S△BPM+S△APM= × ×3=

（3）

解：存在，

理由如下：

∵PM∥OB，

∴當PM=OB時，點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，

①當P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時只有 ，所以不可能有PM=3．

②當P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，

解得t1= ，t2= （舍去），

所以P點的橫坐標是 ；

③當P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1= （舍去），t2= ，

所以P點的橫坐標是 ．

所以P點的橫坐標是 或

【解析】（1）待定系數法分別求解可得；（2）根據題意可設點P的坐標是（t，t﹣3），則M（t，t2﹣2t﹣3），繼而可得PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣ ）2+ ，知PM最長值為 ，根據S△ABM=S△BPM+S△APM可得答案；（3）由PM∥OB，可知當PM=OB時點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，據此可分以下三種情況：①當P在第四象限；②當P在第一象限；③當P在第三象限；由PM=OB=3列出關于t的方程分別求解可得．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的圖象和二次函數的性質，需要了解二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．