Question

【題目】如圖，拋物線y＝－x2－2x＋3的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．

（1）求點A、B、C的坐標；
（2）點M為線段AB上一點(點M不與點A、B重合)，過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N，若點P在點Q左邊，當矩形PMNQ的周長最大時，求△AEM的面積；
（3）在(2)的條件下，當矩形PMNQ的周長最大時，連接DQ，過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交于點G(點G在點F的上方)．若， 求點F的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由拋物線 可知，C（0，3），令y=0，則 ，解得x=﹣3或x=1，∴A（﹣3，0），B（1，0）

（2）解：由拋物線 可知，對稱軸為x=﹣1，設M點的橫坐標為m，則PM= ，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周長=2（PM+MN）=（ ）×2= = ，

∴當m=﹣2時矩形的周長最大．

∵A（﹣3，0），C（0，3），設直線AC解析式為y=kx+b，解得k=1，b=3，

∴解析式y=x+3，當x=﹣2時，則E（﹣2，1），

∴EM=1，AM=1，

∴S= AMEM=

（3）解：∵M點的橫坐標為﹣2，拋物線的對稱軸為x=﹣1，∴N應與原點重合，Q點與C點重合，∴DQ=DC，把x=﹣1代入 ，解得y=4，∴D（﹣1，4），∴DQ=DC= ，∵FG= DQ，∴FG=4，設F（n， ），則G（n，n+3），∵點G在點F的上方，∴ =4，解得：n=﹣4或n=1，∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）

【解析】（1）由拋物線解析式，得到C點坐標，由拋物線y＝－x2－2x＋3的圖象與x軸交于A、B兩點，求出A、B兩點的坐標；（2）由拋物線的解析式求出稱軸，求出矩形PMNQ的周長的值，由A、C的坐標，求出AC的解析式，求出△AEM的面積；（3）根據題意得到N應與原點重合，Q點與C點重合，得到DQ=DC，由點G在點F的上方，得到二次方程，求出點F的坐標；此題是綜合題，難度較大，計算和解方程時需認真仔細.