Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中．有拋物線和.拋物線經過原點，與x軸正半軸交于點A，與其對稱軸交于點B．P是拋物線上一點，且在x軸上方．過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q．過點Q作PQ的垂線交拋物線于點（不與點Q重合），連結.設點P的橫坐標為m．

（1）求a的值；

（2）當拋物線經過原點時，設△與△OAB重疊部分圖形的周長為l．

①求的值；

②求l與m之間的函數關系式；

（3）當h為何值時，存在點P，使以點O、A、Q、為頂點的四邊形是軸對稱圖形？直接寫出h的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②；（3）h=3或或．

【解析】

試題分析：（1）把（0，0）代入即可解決問題．

（2）①用m的代數式表示PQ、QQ′，即可解決問題．

②分0＜m≤3或3＜m＜6兩種情形，畫出圖形，利用相似三角形或銳角三角函數求出相應線段即可解決．

（3），①當h=3時，兩個拋物線對稱軸x=3，四邊形OAQQ′是等腰梯形．②當四邊形OQ′1Q1A是菱形時，求出拋物線對稱軸即可解決問題．

試題解析：（1）∵拋物線經過原點，∴x=0時，y=0，∴9a+4=0，∴；

（2）∵拋物線經過原點時，∴h=0，∵，∴．

①將化為；設P（m，），Q（m，），∴PQ＝，QQ′＝2m，∴=；

②如圖1中，當0＜m≤3時，設PQ與OB交于點E，與OA交于點F，∵，∠PQQ′=∠BMO=90°，∴△PQQ′∽△BMO，∴∠QPQ′=∠OBM，∵EF∥BM，∴∠OEF=∠OBM，∴∠OEF=∠QPQ′，∴OE∥PQ′，∵，∴EF=，OE=，∴l=OF+EF+OE==4m；

當3＜m＜6時，如圖2中，設PQ′與AB交于點H，與x軸交于點G，PQ交AB于E，交OA于F，作HM⊥OA于M．

∵AF=6﹣m，tan∠EAF=，∴EF=，AE=，∵tan∠PGF=，PF=，∴GF=，∴AG=，∴GM=AM=，∵HG=HA==，∴l=GH+EH+EF+FG=．

綜上所述：．

（3）如圖3中，①當h=3時，兩個拋物線對稱軸x=3，∴點O、A關于對稱軸對稱，點Q，Q′關于對稱軸對稱，∴OA∥QQ′，OQ′=AQ，∴四邊形OAQQ′是等腰梯形，屬于軸對稱圖形．

②當四邊形OQ′1Q1A是菱形時，OQ′1=OA=6，∵Q′1Q1=OA=6，∴點Q1的縱坐標為4，在RT△OHQ′1，中，OH=4，OQ′1=6，∴HQ′1=，∴h=或；

綜上所述：h=3或或時，點O，A，Q，Q′為頂點的四邊形是軸對稱圖形．