Question

如圖，雙曲線y=

k

x

與直線y=

1

4

x相交于A、B兩點，且點A的橫坐標是8．
（1）求k的值；
（2）過點A作AC∥x軸交于點C，P是直線AC上的動點，過P作PD∥x軸交雙曲線y=

k

x

于點D，若四邊形PDOA的面積為20，求點P的坐標；
（3）若M、N是雙曲線y=

k

x

上的點，且它們的橫坐標分別是a，2a（a＞0），求△MON的面積．

Answer 1

（1）將x=8代入直線解析式得：y=

1

4

×8=2，
∴A（8，2），
則將A坐標代入反比例解析式得：2=

k

8

，即k=16；
（2）設點P坐標為（8，y），

當y＞2時，P在A的右側，如圖所示，
此時S_{四邊形PDOA}=S_矩形PDOC-S_△AOC=8y-2×

1

2

k=8y-16=20，
解得：y=

9

2

；
當0≤y≤2時，不合題意，舍去；
當y＜0時，S_{四邊形PDOA}=S_矩形PDOC+S_△AOC=8（-y）+2×

1

2

k=-8y+16=20，
解得：y=-

1

2

，
綜上，P坐標為（8，

9

2

）或（8，-

1

2

）；
（3）由題意得：M（a，

16

a

），N（2a，

8

a

），
過M、N作x軸的垂線，垂足分別為E、F，連接OM，ON，MN，如圖所示，

則S_△MON=S_△OME+S_梯形MEFN-S_△ONF=

1

2

×16+

1

2

×a（

16

a

+

8

a

）-

1

2

×16=12．