Question

如圖，AB是圓O的直徑，AM和BN是圓O的兩條切線，E是圓O上一點，D是AM上一點，連接DE并延長交BN于C，且OD∥BE，OF∥BN.

（1）求證：DE是圓O的切線；
（2）求證：OF=CD.

Answer 1

見解析

證明：（1）連接OE，

∵AM是⊙O的切線，OA是⊙O的半徑，
∴∠DAO=90⁰。
∵OD∥BE，
∴∠AOD=∠OBE，∠DOE=∠OEB。
∵OB=OE，∴∠OEB=∠OBE。
∴∠AOD=∠DOE。
在△AOD和△DOE中，∵OA=OE，∠AOD=∠DOE，OD=OD，
∴△AOD≌△DOE（SAS）。∴∠DAO=∠DEO=90⁰。
∴DE與⊙O相切。
（2）∵AM和BN是⊙O的兩條切線，∴MA⊥AB，NB⊥AB。∴AD∥BC。
∵點O是AB的中點，OF∥BN，∴OF（AD＋BC）。
∵DE切⊙O于點E，∴DA=DE，CB=CE。
∴DC=AD＋CB。∴OF=CD。
（1）連接OE，由已知，通過SAS證明△AOD≌△DOE，即可得∠DAO=∠DEO=90⁰，從而得出結(jié)論。
（2）一方面由梯形中位線定理得到OF（AD＋BC），另一方面由切線的性質(zhì)，得DA=DE，CB=CE，從而證得結(jié)論。