Question

【題目】已知和中，，，，（其中），連接、，點為線段的中點，連接、，繞點順時針旋轉，探究線段與的數量關系．

（1）如圖1，點落在邊上時，探究與的數量關系，并說明理由；

（2）如圖2，點落在內部時，探究與的數量關系，并說明理由；

Answer 1

【答案】（1），證明見解析；（2），證明見解析．

【解析】

(1) 延長交于點,先證,可得,再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得,結合,即可完成證明；

（2）延長，過點作交的延長線于點，連接．先證,可得；再延長、交于點，設、交于點．證得；最后根據相似三角形的性質和直角三角形的性質解答即可．

（1）；

證明：延長交于點．

∵，點落在邊上

∴

∴

又∵，

∴

∴

在中，

∴

又∵

∴

（2）；

證明：延長，過點作交的延長線于點，連接．

∵

∴

又∵，

∴

∴，

延長、交于點，設、交于點．

∵

∴

∵，

∴

∴

∵

∴

∵，

∴

∴

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

∵

∴

∴即

又∵

在中，

∴

又∵

∴