Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC邊上有一點P（不與點B，C重合），I為△APC的內心，若∠AIC的取值范圍為m°＜∠AIC＜n°，則m+n＝_____．

Answer 1

【答案】255．

【解析】

I為△APC的內心，即I為△APC角平分線的交點，利用三角形內角和等于180°及角平分線定義，即可表示出∠AIC，從而得到m，n的值即可．

解：設∠BAP＝α，則∠APC＝α+30°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α，

∵I為△APC的內心，

∴AI、CI分別平分∠PAC，∠PCA，

∴∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA，

∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）

＝180°﹣（∠PAC+∠PCA）

＝180°﹣（90°﹣α+60°）

＝α+105°

∵0＜α＜90°，

∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，

∴m＝105，n＝150．

∴m+n＝255，

故答案為：255．