Question

【題目】在等腰中，，直線過點且．是上一點，過作垂足為，過作垂足為，已知．

（1）如圖①，在直線上有一點，連接，且，求證：；

（2）如圖②，將沿方向平移，分別交于，兩點，當時，求的面積；

（3）如圖③，設直線從點出發沿方向平移的速度為每秒1個單位，與交于點，同時有一動點從點出發以相同的速度向點運動，過作交于，設運動時間為，當到達點時所有運動停止，問是否存在以、、為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5；（3）存在，t的值為1或5或或.

【解析】

（1）根據條件證明△AGE≌△FGB，從而可得結論；

（2）根據得出AP和AQ，再根據可求出AB和AC的長，從而求出△CDP和△BDQ的面積，即可求出△DPQ的面積；

（3）分兩段進行討論：當點P在線段AE上時，DP=DK，當點P在線段ED上時，再分三種情況：DP=DK，PK=PD，KD=KP，分別找出等量關系，表示出線段長度，求解即可.

解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠C=∠B=45°，

∵MN∥BC，

∴∠BAG=∠B=45°，

∵∠AGF=∠BGE=90°，

∴∠AFG=45°，∠EAG=∠BFG，∠AGE=∠FGB，AG=FG，

在△AGE和△FGB中，

，

∴△AGE≌△FGB（ASA），

∴BG=GE；

（2）∵MN∥BC，

∴∠MQA=∠NPA=45°，即△APQ為等腰直角三角形，

∵，

∴AP=AQ=2，

∵DE⊥AC，DF⊥AB，

∴△CED和△DFB是等腰直角三角形，

即CE=DE=AF=3，DF=BF=AE=4，

∴EP=2，QF=1，

∴S△DPQ=S△ABC-S△DPC-S△DBQ-S△APQ

=×AC×AB-×PC×DE-×BQ×DF-2

=×7×7-×5×3-×5×4-2

=5，

∴△DPQ的面積為5；

（3）當點P在線段AE上時，∠PDK為鈍角，

若△PDK為等腰三角形，則DP=DK，

此時，PE=4-t，AP= HB=HK =t，

∴DK=BD-BK=-BH=，DP=，

∴DP2= DK2，

即

解得：t=1或7（舍）；

當點P在線段ED上時，K在線段CD上，

若KD=KP，此時∠CDE=45°，則△KDP為等腰直角三角形，

此時有EP+2HF=3，

∵EP=t-4，HF=t-4，

∴t-4+2（t-4）=3，

解得：t=5；

若PK=PD，此時∠CDE=45°，則△KDP為等腰直角三角形，

此時有：HF+EP=3，

∵HF=t-4，EP=t-4，

∴t-4+t-4=3，

解得：t=；

若DK=DP，

∵BK=t，

∴DK=t -，DP=7-t，

∴t -=7-t，

解得：t=；

綜上：存在△DPK為等腰三角形，t的值為1或5或或.