Question

【題目】數學課堂探究性活動蔚然成風。張老師在課堂上設置一道習題：

(1)已知矩形ABCD和點P，當點P在BC上任一位置（如圖1所示）時，探究PA2、PB2、PC2、PD2，之間的關系？直接寫出結論，不必證明；

當P點在其它位置時，請同學們分組探究：

(2)當點P在矩形內部，如圖2時，探究PA2、PB2、PC2、PD2之間的數量關系，請你把探究出的結論寫出來，并給予證明。

(3)當點P在矩形外部，如圖3時，繼續探完PA2、PB2、PC2、PD2之間的數量關系，請你把探究出的結論直接寫出來，不必證明。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）結論PA2+PC2=PB2+PD2，證明見解析

【解析】試題分析：（1）直接根據勾股定理即可得出結論；

（2）過點P作MN⊥AD于點M，交BC于點N，可在Rt△AMP，Rt△BNP，Rt△DMP和Rt△CNP分別用勾股定理表示出PA2，PC2，PB2，PD2，然后我們可得出PA2+PC2與PB2+PD2，我們不難得出四邊形MNCD是矩形，于是，MD=NC，AM=BN，然后我們將等式右邊的值進行比較發現PA2+PC2=PB2+PD2．如圖（3）方法同（2），過點P作PQ⊥BC交AD，BC于O，易證．

試題解析：證明：（1）如圖1中．在Rt△ABP中，AB2=AP2﹣BP2，Rt△PDC中，CD2=PD2﹣PC2．∵AB=CD，∴AP2﹣BP2=PD2﹣PC2，∴PA2+PC2=PB2+PD2；

（2）猜想：PA2+PC2=PB2+PD2．

如圖2，過點P作MN⊥AD于點M，交BC于點N．

在矩形ABCD中，∵AD∥BC，MN⊥AD，∴MN⊥BC．在Rt△AMP中， PA2=PM2+MA2．在Rt△BNP中，PB2=PN2+BN2．在Rt△DMP中，PD2=DM2+PM2．在Rt△CNP中，PC2=PN2+NC2，∴PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2，PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2．∵MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，∴四邊形MNCD是矩形，∴MD=NC，同理AM=BN，∴PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2，即PA2+PC2=PB2+PD2．

（3）如圖3，過點P作PQ⊥BC交AD，BC于O，Q．

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，PQ⊥BC，∴PQ⊥AD．∵在Rt△AOP中，PA2=AO2+PO2．在Rt△PQB中，PB2=PQ2+QB2．在Rt△POD中，PD2=DO2+PO2．在Rt△CQP中，PC2=PQ2+QC2，∴PA2+PC2=PO2+OA2+PQ2+QC2，PB2+PD2=PQ2+QB2+DO2+PO2．∵PQ⊥AD，PQ⊥NC，DC⊥BC，∴四邊形OQCD是矩形，∴OD=QC，同理AO=BQ，∴PA2+PC2=PB2+PD2．