Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A（﹣4，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C，M為此拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求此拋物線的函數(shù)解析式；

（2）動(dòng)直線l從與直線AC重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與直線AB重合時(shí)終止運(yùn)動(dòng)，直線l與BC交于點(diǎn)D，P是線段AD的中點(diǎn)．

①直接寫出點(diǎn)P所經(jīng)過的路線長(zhǎng)為　 　；

②點(diǎn)D與B、C不重合時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，作DF⊥AB于點(diǎn)F，連接PE、PF、EF，在旋轉(zhuǎn)過程中，求EF的最小值；

（3）將拋物線C1平移得到拋物線C2，已知拋物線C2的頂點(diǎn)為N，與直線AC交于E、F兩點(diǎn)，若EF＝AC，求直線MN的解析式．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+4；（2）①；②；（3）y＝x+

【解析】

（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可解決問題；
（2）①易得點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑是△ABC的中位線P1P2，只需運(yùn)用勾股定理求出BC長(zhǎng)，然后運(yùn)用三角形中位線定理就可解決問題；②根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得PE=PA=PD=PF，由此可得點(diǎn)A、E、D、F在以點(diǎn)P為圓心，為半徑的圓上，根據(jù)圓周角定理可得∠EPF=2∠EAF．易得∠EAF=45°，則有∠EPF=90°，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)“點(diǎn)到直線之間垂線段最短”可得當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最小，此時(shí)EF最小，然后只需運(yùn)用面積法求出此時(shí)AD的值，即可得到EF的最小值；
（3）運(yùn)用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式為y=x+4，由EF=AC可得MN∥AC，從而可設(shè)直線MN的解析式為y=x+t，然后只需求出拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入y=x+t即可解決問題．

解：（1）∵拋物線 與x軸交于A（﹣4，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，

∴ ，

解得 ，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+4；

（2）①在Rt△BOC中，

．

∵點(diǎn)D是線段BC一點(diǎn)，P是線段AD的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑是△ABC的中位線P1P2，如圖1，

則．

故答案為：；

②如圖2，

∵DE⊥AC，DF⊥AB，P是線段AD的中點(diǎn)，

∴PE＝PA＝PD＝PF，

∴點(diǎn)A、E、D、F在以點(diǎn)P為圓心，為半徑的圓上，

∴∠EPF＝2∠EAF．

∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°，

∴∠CAO＝∠ACO＝45°，

∴∠EPF＝90°，

∴．

根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：

當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最小，此時(shí)EF最小，

此時(shí)，，

解得：，

此時(shí)，

則EF的最小值為；

（3）如圖3，

設(shè)直線AC的解析式為y＝mx+n，

則有 ，

解得： ，

∴直線AC的解析式為y＝x+4．

由EF＝AC可得MN∥AC．

可設(shè)直線MN的解析式為y＝x+t．

∵點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1， ），

把M（﹣1，）代入y＝x+t，得

﹣1+t＝，

解得t＝，

∴直線MN的解析式為y＝x+．