Question

【題目】關于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0．

（1）當方程有一個根為﹣1時，求k的值及另一個根；

（2）當方程有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍；

（3）若方程兩實根x1、x2滿足x1+x2＝x1x2，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）k的值為1，另一個根為﹣2；（2）k；（3）不存在k，使方程兩實根x1、x2滿足x1+x2＝x1x2

【解析】

（1）把x＝﹣1代入一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0求出k，然后把k值代入方程解出x即可；

（2）若一元二次方程有兩不等實數根，則根的判別式△=b2-4ac＞0，建立關于k的不等式，求出k的取值范圍；

（3）根據根與系數的關系得出x1+x2=-（2k+1），x1x2=k2+1，根據x1+x2=-x1x2得出-（2k+1）=k2+1，求出方程的解，再根據（1）的范圍確定即可．

解：（1）把x＝﹣1代入一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0得：（﹣1）2﹣（2k+1）+k2+1＝0，

整理得：k2﹣2k+1＝0，

解得：k＝1，

即原方程為：x2+3k+2＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2，

即k的值為1，另一個根為﹣2；

（2）根據題意得：△＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k﹣3＞0，

解得：k，

即k的取值范圍為k；

（3）根據題意得：x1+x2＝﹣（2k+1），x1x2＝k2+1，

∵x1+x2＝x1x2，

∴﹣（2k+1）＝k2+1，

解得：k2+2k+2＝0，

△＜0，該方程無解，

即不存在k，使方程兩實根x1、x2滿足x1+x2＝x1x2．