Question

【題目】如圖，P為邊長為2的正方形ABCD的對角線BD上任一點，過點P作PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接EF．給出以下4個結論：①AP＝EF；②AP⊥EF；③EF最短長度為；④若∠BAP＝30°時，則EF的長度為2．其中結論正確的有（　　）

A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

連接PC，可證得△ABP≌△CBP，結合矩形的性質，可證得PA＝EF，國判斷①；延長AP交BC于點G，可證得AP⊥EF，可判斷②；求得AP的最小值即可求得EF的最短長度，可判斷③；當點P在點B或點D時，AP有最大值2，則可判斷④；可求得答案．

解：

①如圖，連接PC，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，

在△ABP和△CBP中

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴AP＝PC，

∵PE⊥BC，PF⊥CD，且∠FCE＝90°，

∴四邊形PECF為矩形，

∴PC＝EF，

∴AP＝EF，故①正確；

②延長AP交BC于點G，

由①可得∠PCE＝∠PFE＝∠BAP，

∵PE∥AB，

∴∠EPG＝∠BAP，

∴∠EPG＝∠PFE，

∵∠EPF＝90°，

∴∠EPG+∠PEF＝∠PEG+∠PFE＝90°，

∴AP⊥EF，故②正確；

③當AP⊥BD時，AP有最小值，此時P為BD的中點，

由①可知EF＝AP，

∴EF的最短長度為，故③正確；

④當點P在點B或點D位置時，AP＝AB＝2，

∴EF＝AP≤2，

∴當∠BAP＝30°時，AP＜2，

即EF的長度不可能為2，故④不正確；

綜上可知正確的結論為①②③，

故選：A．