Question

【題目】一個四位正整數m各個數位上的數字互不相同且都不為0，四位數m的前兩位數字之和為5，后兩位數字之和為11，稱這樣的四位數m為“半期數”；把四位數m的各位上的數字依次輪換后得到新的四位數m′，設m′＝，在m′的所有可能的情況中，當|b+2c﹣a﹣d|最小時，稱此時的m′是m的“伴隨數”，并規定F（m′）＝a2+c2﹣2bd；例如：m＝2365，則m′為：3652，6523，5236，因為|6+10﹣3﹣2|＝11，|5+4﹣6﹣3|＝0，|2+6﹣5﹣6|＝3，0最小，所以6523叫做2365的“伴隨數”，F（5236）＝52+32﹣2×2×6＝10．

（1）最大的四位“半期數”為　 　；“半期數”3247的“伴隨數”是　 　．

（2）已知四位數P＝是“半期數”，三位數Q＝，且441Q﹣4P＝88991，求F（P'）的最大值．

Answer 1

【答案】（1）4192，7324；（2）42.

【解析】

（1）根據“半期數”的定義分析最大的四位“半期數”應該是千位最大，最大只能為4，所以百位是1，十位最大是9，個位是2，所以最大半期數為：4192，分析3247的所有可能為，2473，4732，7324．根據題意|b+2c﹣a﹣d|最小的數是7324，所以3247的“伴隨數”是：7324．

（2）根據定義可知a+b=5，c+d=11．再根據441Q﹣4P=88991，可以算出P的值，從而求出F（P'）的最大值．

解；（1）根據題意可得最大的四位“半期數”應該是千位最大，最大只能為4，所以百位是1，十位最大是9，個位是2，所以最大半期數為：4192．

∵3247的所有可能為，2473，4732，7324．

∵|4+14﹣2﹣3|=13，|7+6﹣4﹣2|=7，|3+4﹣7﹣4|=4， 4最小，所以7324為3247的“伴隨數”．

故答案為：4192；7324．

（2）∵P為“半期數”

∴a+b=5，c+d=11，∴b=5﹣a，d=11﹣c，∴P=1000a+100（5﹣a）+10c+11﹣c=900a+9c+511．

∵Q=200+10a+c，∴441Q﹣4P=88991，∴441（200+10a+c）﹣4（900a+9c+511）=88991

化簡得：2a+c=7

①當a=1時，c=5，此時這個四位數為1456符合題意；

②當a=2時，c=3，此時這個四位數為2338不符合題意，舍去；

③當a=3時，c=1，不符合題意，舍去；

綜上所述：這個四位數只能是1456，則P'可能為4561，5614，6145．

∵|5+12﹣4﹣1|=12，|6+2﹣5﹣4|=1，|1+8﹣6﹣5|=2，1最小，所以5614為P的“伴隨數”，∴F（5614）=a2+c2﹣2bd=25+1﹣2×6×4=﹣22；

F（4561）=a2+c2﹣2bd=16+36﹣2×5×1=42；

F（6145）=a2+c2﹣2bd=36+16﹣2×1×5=42；

∴F（P'）的最大值為42．